Топологическое пространство (X,Ω) называется компактным, если любое открытое покрытие этого пространства содержит конечное подпокрытие.

   Пусть (X,Ω) - топологическое пространство, а {V_α}_αI - некоторое открытое покрытие X: X = , где V_α Ω для каждого α I. Определение компактности означает, что если X компактно, то среди множеств V_α найдутся несколько множеств V_α1, V_α2, ... , V_αn, уже покрывающих его: X = V_αi. Множества V_α1, V_α2, ... , V_αn образуют конечное открытое покрытие X.

   Для того чтобы пространство X не было компактным, у него должно существовать бесконечное открытое покрытие, никакая конечная часть которого не является покрытием.

1. Дискретное пространство с бесконечным числом точек не компактно. Например, его открытое покрытие одноточечными множествами не имеет конечного подпокрытия.
2. Любое антидискретное пространство X компактно. Его единственное открытое покрытие состоит из одного элемента - самого множества X.
3. Всякое топологическое пространство, в котором конечное число открытых множеств, компактно. В этом пространстве любое открытое покрытие конечно.
4. Числовая прямая R¹ со стандартной топологией не компактна. Например, из открытого покрытия {(-n,n)}^∞_n=1 нельзя выделить конечное подпокрытие.
5. Пространство X с топологией конечных дополнений компактно. Действительно, если X конечно, то оно является дискретным пространством, имеет конечное число открытых множеств, и, следовательно, компактно. Пусть теперь X имеет бесконечное число точек, S = {V_α}_αI - произвольное открытое покрытие X, a V_α0 - произвольное открытое множество из семейства {V_α}_αI. Фиксируем V_α0. Множество Х\V_α0 состоит из конечного числа точек у₁, ... , у_n: Х\V_α0 = {y_i}. Обозначим через V_αi одно из множеств покрытия S, содержащее точку у_i. Тогда {y_i} V_αi следовательно, множества V_α1, V_α2, ... , V_αn покрывают X: X = V_α0 V_αi.

   Множество Y топологического пространства (X,Ω) называется компактным, если Y компактно в индуцированной топологии Ω_Y как подпространство, т.е. если топологическое пространство (Y,Ω_Y) компактно.

   Покрытием подмножества А множества X называется семейство подмножеств {U_α}_αI множества X такое, что А U_a.

   Теорема 2.12.

   Подмножество А топологического пространства (X,Ω) компактно тогда и только тогда, когда из любого его покрытия множествами, открытыми в X, можно выбрать конечное подпокрытие.

   Доказательство. Докажем необходимость. Пусть множество А компактно, a {U_α}_αI - произвольное его покрытие открытыми в X множествами: А U_a, U_α Ω для каждого α I. Выделим из {U_α}_αI конечное подпокрытие множества А. Положим V_α = U_α А. Множества V_α открыты в подпространстве (А,Ω_А) и образуют покрытие А: А = U_α А = (U_α A) = V_α. Tак как пространство (А,Ω_А) компактно, то его покрытие {V_α}_αI - содержит некоторое конечное подпокрытие V_α1, V_α2, ... , V_αn. A = V_αi U_αi. Тогда множества U_α1, U_α2, ... , U_αn образуют искомое конечное подпокрытие исходного покрытия множества А.

   Докажем достаточность. Пусть {V_α}_αI - произвольное открытое покрытие подпространства (A,Ω_А): А = V_α, где V_α Ω_А для каждого α I. Тогда, по определению индуцированной топологии, каждое множество V_α можно представить как пересечение множества А с некоторым открытым в X множеством U_α : V_α = U_α А, U_α Ω. Очевидно, семейство {U_α}_αI образует покрытие множества А, и по условию теоремы найдутся несколько множеств U_α1, U_α2, ... , U_αn из этого семейства, покрывающих множество А. Тогда соответствующие множества V_α1, V_α2, ... , V_αn образуют конечное подпокрытие покрытия {V_α}_αI : А = V_αi. Таким образом, из любого открытого покрытия {V_α}_αI подпространства (А, Ω_А) можно выделить конечное подпокрытие. То есть А, по определению, есть компактное множество.

    Теорема доказана.

   Теорема 2.13.

    Замкнутое подмножество А компактного пространства (X,Ω) компактно.

   Доказательство. Пусть {U_α}_αI - произвольное покрытие множества А открытыми в X множествами: А U_α, U_α Ω для каждого α I. В силу теоремы 2.12 достаточно показать, что из покрытия {U_α}_αI можно выделить конечное подпокрытие. Действительно, X = (Х\А) А (Х\А) U_α, с другой стороны, (Х\А) U_α X, следовательно, X = (Х\А) U_α, причем, (Х\А) открыто. Значит, совокупность множеств (Х\А), {U_α}_αI образует открытое покрытие X. Так как X компактно, то из этого покрытия можно выделить конечное подпокрытие, причем, мы всегда можем считать, что в него входит множество (Х\А): X = U_αi (Х\А). Тогда А = Х\(Х\А) = (U_αi (Х\А))\(Х\А) U_αi. Таким образом, семейство {U_αi}ⁿ_i=1 искомое конечное подпокрытие множества А.

   Теорема доказана.

   Утверждение, обратное к теореме 2.13, вообще говоря, не верно. Например, в антидискретном пространстве X компактны все множества, а замкнуты всего два: и X. Достаточным условием является хаусдорфовость X.

   Теорема 2.14.

    Компактное подмножество А хаусдорфова пространства (X,Ω) замкнуто.

   Доказательство. Докажем, что Х\А открыто. Фиксируем произвольную точку у Х\А и покажем, что существует окрестность U(у) точки у, целиком лежащая в Х\А. Для любой точки х А в силу хаусдорфовости X найдутся открытые окрестности U_у(х) и U_х(у) точек х и у такие, что U_у(х) U_х(у) = . Система {U_y(x)}_xA образует покрытие множества А, открытое в X. Так как А компактно, то по теореме 2.12 найдется конечное подпокрытие {U_y(x_i)}ⁿ_i=1, множества А для

некоторых точек х₁, ... , х_n, принадлежащих А. Тогда конечное пересечение U_xi(y) соответствующих множеств {U_xi(y)}ⁿ_i=1 открыто в X и является искомой окрестностью точки

у: U_xi(y) = U(y).

   Теорема доказана.

   Из теоремы 2.14 следует, что если множество А, лежащее в некотором хаусдорфовом топологическом пространстве X, не замкнуто, то А не может быть компактным. Может оказаться, что замыкание такого множества А уже обладает свойством компактности.

   Подмножество А топологического пространства X называется предкомпактным, если его замыкание в X компактно.

   См. пример.

   Теорема 2.15.

    Всякое бесконечное подмножество Y компактного топологического пространства (X,Ω) имеет в X предельную точку.

   Доказательство. Предположим противное, т.е., что Y' = . Тогда в силу теоремы 1.5 = Y и значит, Y замкнуто, а следовательно, по теореме 2.10, Y компактно. С другой стороны, любая точка у Y не является предельной для Y и, следовательно, найдется такая ее окрестность U(y) Ω, что U(y) Y = {у}. Тогда в топологическом подпространстве (Y,Ω_Y) одноточечные множества V(y) = {у} Ω_Y и образуют открытое покрытие Y. Так как из бесконечного открытого покрытия

{V(y)}_yY подпространства (Y,Ω_Y) нельзя выбрать конечное подпокрытие, то мы приходим к противоречию с компактностью множества Y.

    Теорема доказана.