Топологическое пространство (X,Ω) называется сепарабельным, если X содержит не более чем счетное подмножество А, замыкание которого совпадает с X. Таким образом, сепарабельные пространства - это пространства, которые содержат не более чем счетные всюду плотные множества. Эти пространства имеют ряд полезных свойств и играют важную роль во многих разделах математики.

1. Числовая прямая R¹ со стандартной топологией является сепарабельным пространством, поскольку содержит счетное всюду плотное множество Q рациональных точек.
2. Дискретное топологическое пространство, состоящее из несчетного множества точек , является простым примером несепарабельного топологического пространства.
3. Всякое топологическое пространство с тривиальной топологией является сепарабельным.

   Говорят, что топология Ω обладает счетной базой β, если β состоит не более чем из счетного числа множеств.

   Теорема 2.10. Если пространство (X,Ω) обладает счетной базой, то оно сепарабельно.

   Доказательство. Пусть β = - некоторая счетная база в X, где индекс i пробегает не более чем счетное множество индексов I. Построим множество А = , выбрав по одной точке a_i, из V_i, и докажем, что = X. Так как в силу теоремы 1.6 = А А', то достаточно показать, что любая точка х₀ множества Х\А является предельной точкой множества А. Рассмотрим произвольную окрестность U точки х₀. Из теоремы 2.4 следует, что найдется такое множество V_i0 β, что х₀ V_i0 U. Так как пересечение V_i0 А , то существует точка a_i0 (V_i0 А) U, причем, x₀ а_i0. То есть любая окрестность U точки х₀ Х\А содержит некоторую точку а_i0 А. Это означает, что точка х₀ является предельной точкой множества А: х₀ А'. Следовательно, = А (X\А) = X. Таким образом, А является не более чем счетным всюду плотным в X множеством, что и доказывает сепарабельность пространства (X,Ω).

   Теорема доказана.