§ 1.8. Граница множества
Точка х
X топологического пространства
(X,Ω) называется граничной для данного
множества А X, если всякая ее окрестность пересекается и с множеством А,
и с его дополнением Х\А.
Множество всех граничных точек множества А называется границей множества А и обозначается
А.
Теорема 1.8.
Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω)
А = \Int А.
Доказательство. Пусть х А;
тогда в любой окрестности O(х) точки х найдутся точки х1, х2
такие, что X1 А, х2 Х\А.
Тогда х
A А' и при этом, не является внутренней точкой множества А.
Обратно, пусть х \Int А.
Так как х , то в каждой окрестности точки х найдется точка из множества А.
Так как х Int А, то каждая окрестность точки х пересекается с Х\А.
Таким образом, в каждой окрестности точки х содержатся точки множества А и точки его дополнения Х\А, то есть
х А.
Теорема доказана.
Приведем примеры А
для некоторых множеств А на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
-
Если А = [0,1], то А = {0,1}.
-
Если А = (0,1], то А = {0,1}.
-
Если А - множество Z всех целых точек на
R1, то А = А.
-
Если А = ,To A = A {0}.
-
Если А - множество Q всех рациональных точек на R1,
то А = R1.
Та часть границы множества А, которая содержится в А, называется краем множества А.
То есть край множества А - это множество А\Int А.
|