Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) можно рассмотреть наибольшее содержащееся в А открытое множество; оно обозначается Int А и называется внутренностью множества А. Рассмотрим семейство всех открытых множеств, содержащихся в А. Тогда их объединение обладает следующими свойствами:

   1) является открытым множеством в силу аксиомы б) топологического пространства;

   2) , так как для каждого индекса а из семейства индексов I множество U_α А;

   3) для любого открытого множества U, содержащегося в множестве А, выполняется включение .

    Таким образом, внутренность Int А совпадает с объединением всех открытых множеств, содержащихся в

    В частности, по определению окрестности получим, что всякое множество А, для которого Int А , является окрестностью каждой точки из Int А.

   Точка х A называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее окрестность О(х), что О(х) А.

   Теорема 1.7.

    Внутренность Int А любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) совпадает с множеством всех внутренних точек множества А.

   Доказательство. Если х является внутренней точкой множества А, то из определения внутренней точки следует, что найдется такая открытая окрестность U(x) точки х, что U(x) А. Так как Int А - наибольшее открытое множество, содержащееся в множестве А, то окрестность U(x) Int А , а с ней и сама точка х Int А. Обратно, так как внутренность Int А открыта, то она является окрестностью для всякой своей точки. Следовательно, множество Int А содержится во множестве всех внутренних точек множества А.

   Теорема доказана.

    Приведем примеры Int А для некоторых множеств А на числовой прямой R¹ со стандартной топологией:

1. Если А = [0,1], то Int А = (0,1).
2. Если А = (0,1], то Int А = (0,1).
3. Если А - множество Z всех целых точек на R¹, то Int А = .
4. Если А = , то Int А = .
5. Если А - множество Q всех рациональных точек на R¹, то Int А = .