§ 1.7. Внутренность множества
Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) можно рассмотреть наибольшее
содержащееся в А открытое множество; оно обозначается Int А и называется внутренностью множества А.
Рассмотрим семейство всех открытых множеств, содержащихся в А.
Тогда их объединение обладает следующими свойствами:
1) является открытым множеством в силу аксиомы б)
топологического пространства;
2) , так как для каждого индекса а из семейства индексов I
множество Uα А;
3) для любого открытого множества U, содержащегося в множестве А,
выполняется включение .
Таким образом, внутренность Int А совпадает с объединением
всех открытых множеств, содержащихся в
В частности, по определению окрестности получим, что всякое множество А, для которого
Int А , является окрестностью каждой точки из Int А.
Точка х A называется внутренней точкой множества А, если найдется такая ее
окрестность О(х), что О(х) А.
Теорема 1.7.
Внутренность Int А любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) совпадает с множеством всех внутренних
точек множества А.
Доказательство. Если х является внутренней точкой множества А,
то из определения внутренней точки следует, что найдется такая открытая окрестность U(x) точки х,
что U(x) А. Так как Int А - наибольшее открытое множество, содержащееся
в множестве А, то окрестность U(x) Int А , а с ней и сама точка
х Int А. Обратно, так как внутренность Int А открыта, то она является
окрестностью для всякой своей точки. Следовательно, множество Int А содержится во множестве всех внутренних точек множества А.
Теорема доказана.
Приведем примеры Int А для некоторых множеств А на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
-
Если А = [0,1], то Int А = (0,1).
-
Если А = (0,1], то Int А = (0,1).
-
Если А - множество Z всех целых точек на R1, то Int А = .
-
Если А = ,
то Int А = .
-
Если А - множество Q всех рациональных точек на R1, то Int А = .
|