§ 1.6. Замыкание множества
Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω)
можно рассмотреть наименьшее содержащее А замкнутое множество; оно обозначается и
называется замыканием множества А.
Рассмотрим семейство всех замкнутых множеств, содержащих А.
Тогда пересечение обладает следующими свойствами:
1) является замкнутым множеством в силу свойства б) теоремы
1.1;
2) , так как для каждого индекса а из семейства индексов I
множество А Fα;
3) для любого замкнутого множества F, содержащего множество А,
выполняется включение .
Таким образом, замыкание совпадает с пересечением всех содержащих А замкнутых множеств:
.
Докажем основное утверждение о структуре замыкания множества.
Теорема 1.6.
Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω)
= A A'.
Доказательство. По теореме 1.5 множество A А'
замкнуто и содержит А, следовательно,
по определению, A А'.
С другой стороны, любое замкнутое множество, содержащее А,
содержит в силу теоремы 1.4 и все предельные точки множества A, то есть множество А'.
Значит, и множество содержит А'.
Следовательно, A А' .
Таким образом, = А А'.
Теорема доказана.
Из теорем 1.4 и 1.6 следует утверждение: подмножество А топологического пространства (X,Ω)
замкнуто тогда и только тогда, когда А совпадает со своим замыканием, то есть А = .
Приведем примеры замыканий некоторых множеств на числовой прямой R1 со стандартной топологией:
-
Если А = (0,1), то = [0,1].
-
Если А = (0,1], то = [0,1].
-
Если А - множество Z всех целых точек на R1, то = А.
-
Если A = , то = A {0}.
-
Если А - множество Q всех рациональных точек на R1, то = R1.
Таким образом, замыкание любого множества распадается на точки трех типов:
изолированные точки;
предельные точки, принадлежащие самому множеству А; и предельные точки, не принадлежащие А.
Говорят, что подмножество А топологического пространства (X,Ω) всюду плотно в X,
если = X.
-
Пусть Q - множество всех рациональных точек на числовой прямой
R1 со стандартной топологией. Так как = R1,
то Q всюду плотно на R1.
-
Пусть (X,Ω) - дискретное топологическое пространство. Тогда единственным всюду плотным множеством является само X.
-
В антидискретном пространстве (X,Ω) любое множество является всюду плотным в X.
|