Опишем замкнутые множества в терминах окрестностей точек. Для этого заметим, что множество F замкнуто, если, по определению, его дополнение X\F открыто, то есть, в силу теоремы 1.2, у каждой точки множества X\F найдется окрестность, целиком лежащая в X\F или, что эквивалентно, не пересекающая множество F. Следовательно, множество F замкнуто тогда и только тогда, когда каждая точка х, любая окрестность которой пересекает множество F, принадлежит множеству F.

   Сформулированный выше вывод приводит к новой классификации точек топологического пространства.

   Точка х топологического пространства (X,Ω) называется предельной для данного множества F X, если в каждой ее окрестности О(х) содержится хотя бы одна точка у F, отличная от х.

   Множество всех предельных точек множества F называется производным множеством множества F и обозначается F'.

1. В дискретном пространстве никакая точка не является предельной ни для какого множества.
2. В антидискретном пространстве, содержащем более одной точки, каждая точка х является предельной точкой любого множества, отличного от пустого множества и одноточечного множества {х}.
3. На числовой прямой R¹ со стандартной топологией могут осуществляться самые разнообразные возможности. Например, множество Z всех целых чисел не имеет предельных точек, множество имеет одну предельную точку 0, предельные точки открытого интервала (0, 1) заполняют весь отрезок [0,1].

   Сформулируем критерий замкнутого множества в терминах предельных точек.

   Теорема 1.4.

   Подмножество F топологического пространства (X, Ω) замкнуто тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

    Доказательство. Пусть F замкнуто, х - предельная точка F. Предположим, что х F. Тогда х принадлежит открытому множеству O(х) = X\F, которое является окрестностью точки х, но при этом, O(x) F = , что противоречит тому, что х - предельная точка множества F. Обратно, пусть F содержит все свои предельные точки. Покажем, что F замкнуто, то есть, что его дополнение U = X\F открыто. Предположим противное. Тогда, в силу теоремы 1.3 найдется такая точка х U, в любой окрестности которой содержатся точки, не принадлежащие множеству U, то есть точки множества X\U = F. Значит, любая окрестность точки х содержит хотя бы одну точку множества F, и, следовательно, х - предельная точка множества F. Тогда х F в противоречие с предположением, что х U = X\F.

   Теорема доказана.

   Теорема 1.5.

   Для любого подмножества А топологического пространства (X,Ω) множество A А' замкнуто.

   Доказательство. Покажем, что дополнение множества A А' открыто. Пусть х - произвольная точка множества Х\(A А'). Тогда х А и не является предельной точкой для А, следовательно, некоторая открытая окрестность U(x) точки х не пересекается с множеством А. Тогда для любой точки у U(x) выполняются условия: у А; найдется такая окрестность О(у) точки у, которая целиком лежит в U(x), следовательно, у не является предельной точкой множества А. Значит, каждая точка у из множества U(x) принадлежит дополнению множества A А'. Таким образом, каждая точка х Х\(А А') входит во множество Х\(А А') вместе с некоторой своей окрестностью U(x). Отсюда, в силу теоремы 1.3 получим, что множество Х\(A А') открыто, тогда, по определению, множество A А' замкнуто.

    Теорема доказана.