Пусть Q — жорданова область на регулярной поверхности Ф, ограниченная кусочнорегулярной кривой γ, ориентация которой индуцирована ориентацией области Q.

    Пусть кривая γ разбита точками A₁, A₂, ..., A_n+1 = A ₁ на n регулярных дуг γ₁, ..., γ_n, причем дуга γ имеет начало в точке A_i, а конец в точке A_i+1. Обозначим через β_i угол между дугами γ_i-1, γ_i в точке A_i, измеренный со стороны Q. Тогда имеет место следующая

   Теорема 4 (К. Гаусс — О. Бонне)

    (3.88)

где K — гауссова кривизна, dσ — элемент площади на Ф, k_g — геодезическая кривизна в регулярной точке кривой γ и ds — элемент длины кривой γ.

   Замечание. Пусть L — кусочно-регулярная кривая на поверхности Ф, состоящая из регулярных дуг γ₁ ..., γ_n с концами в точках A₀, ..., A_n. Обозначим через α_i ориентированный угол в точке A_i, между направляющими векторами дуг γ_i и γ_i+1 в этой точке. Величину

    (3.89)

назовем поворотом кривой L. Напомним, что величина π - α_i есть поворот τ(A_i) кривой L в точке A_i. Если L замкнута, то в определении τ(L) берется сумма поворотов всех угловых точек кривой L. Отметим, что если через —L обозначить кривую L с противоположной ориентацией, то τ(—L) = —τ(L). Кроме того, τ(L) аддитивна в следующем смысле: если точка A разбивает кривую L на дуги L₁ и L₂, то τ(L) = τ(L₁) + τ(A) + τ(L₂). В введенных обозначениях формула (3.88) принимает вид

    (3.90)

   Доказательство. 1) Рассмотрим сначала случай, когда на области Q можно в целом ввести полугеодезические координаты u, v. На Q определено непрерывное невырожденное векторное поле r_u. Через α(s) обозначим угловую функцию поля r_u на цикле γ относительно подвижного репера t, n_g (см. рис. 1).

(рис. 1)

В точках А_i функция α(s) имеет скачки —(π — β_i). В силу теоремы 5, приращение θ(r_u, γ) угловой функции α(s) на цикле γ равно — 2π, С другой стороны,

(3.91)

Поскольку соs(α(s)) = (r_u, t), то

(3.92)

Используя формулы (3.46) и (3.84) и замечая, что

получаем из (3.92)

    (3.93)

Подставляя (3.93) в (3.91), получаем

    (3.94)

где γ'_i — прообраз дуги γ_i в области параметров u, v. Через Q' обозначим прообраз Q в области параметров u, v. Применяя к первому слагаемому правой части (3.94) формулу Грина и учитывая (3.85), получаем

 (3.95)

Подставляя (3.95) в (3.93), получаем (3.88).

   2) Пусть теперь Q — произвольная область на Ф. Покроем Q" конечным числом односвязных областей Q_i таких, что 1) каждая Q_i ограничена кусочно-гладким контуром ∂Q_i; 2) на Q_i в целом можно ввести полугеодезические координаты и 3) каждый контур ∂Q_i пересекает не более чем в конечном числе точек как контур ∂Q, так и любой другой контур ∂Q_j. В области Q рассмотрим все точки A₁, ..., А_p пересечения контуров ∂Q_i и точки А_p+1, ..., A_p+q пересечения ∂Q с ∂Q_i. Через λ₁, ..., λ_s обозначим всевозможные дуги с вершинами A_i лежащими в Q. Через λ_s+1, ..., λ_s+q обозначим дуги, на которые точки B₁, ..., B_q разбивают ∂Q. Сеть с вершинами A₁, ..., А_p, B₁, ..., B_q и дугами λ₁, ..., λ_s, λ_s+1, ..., λ_s+q разбивает Q" на односвязные области U₁, ..., U_f. В силу теоремы Эйлера

   Для каждой области U_i верна формула (3.88). Обозначим через k_i число ребер, сходящихся в вершине A_i (i = 1, ..., р + q), а через α_j — угол в вершине А_j (j = р + 1, ..., р + q) контура ∂Q со стороны области Q. Поскольку каждое ребро соединяет две вершины, то

 (3.97)

Сумма поворотов областей U_i в каждой внутренней вершине A_i (l = 1, ..., р) равна —2π + πk_l, а в каждой граничной вершине А_i (l = р + 1, ..., р + q) равна —α_i + π(k_i - 1).

   Так как повороты на общей дуге двух соседних областей U_i в сумме равны нулю, то, учитывая (3.97), имеем

 (3.98)

В силу (3.88) получим

 (3.99)

Из (3.98) и (3.99) получаем

2πs - 2πp + τ(∂Q) = 2πf - _QK dσ.  (3.100)

Поскольку, в силу (3.96), р — s + f = 1, то

_QK dσ - τ(∂Q) = 2π, (3.101)

что и требовалось доказать.

   Для многосвязной области Q ⊂ Ф, граница которой ∂Q состоит из конечного числа кусочно-регулярных циклов, теорема Гаусса — Бонне формулируется следующим образом:

_QK dσ - τ(∂Q) = 2πχ(Q), (3.102)

где χ(Q) — эйлерова характеристика области Q.

   Доказательство (3.102) сводится к разбиению области Q на односвязные и применению формулы (3.90). Читатель может легко провести его сам.

   Если Ф — замкнутая поверхность и Q = Ф, то ∂Q = ∅ и из (3.102) получаем

_QK dσ = 2πχ(Ф), (3.103)

   Отметим несколько следствий из теоремы Гаусса — Бонне.

   1) Если Т — геодезический треугольник на Ф с углами α, β, γ, то

_QK dσ = α + β + γ - π, (3.104)

   В правой части (3.104) стоит избыток δ(Т) треугольника Т. С помощью понятия избытка треугольника определяется кривизна множеств в двумерных многообразиях ограниченной кривизны. Равенство (3.104) показывает, что регулярная поверхность Ф является многообразием неотрицательной (неположительной) кривизны тогда и только тогда, когда K ≥ 0 (K ≤ 0) всюду на Ф. В частности, если Ф — поверхность постоянной кривизны K = K₀ = const, то

что выражает известную связь между избытком и площадью треугольника в сферической геометрии при K₀ > 0 и геометрии Лобачевского при K₀ < 0.

   2) Докажем теперь, что величина τ(L), введенная выше в замечании к теореме Гаусса — Бонне, есть поворот кривой L в смысле А. Д. Александрова.

   Пусть L — простая кусочно-регулярная дуга на поверхности Ф с концами в точках А, В. Рассмотрим простые ломаные λ ⊂ Ф с концами в точках А, В, звеньями которых являются кратчайшие.

   Пусть ломаные λ не пересекают L во внутренних точках, лежат с одной стороны от L и сходятся к L. Применяя к областям Q, ограниченным L и λ, теорему Гаусса — Бонне, получим

τ(L) = ∑_i(π - φ_i) + α + β - _QK dσ (3.106)

где α, β — углы между L и λ в точках А и В соответственно, а φ_i — углы ломаной λ со стороны, противоположной области Q. Переходя в равенстве (3.106) к пределу при λ → L и замечая, что

Lim_λ→LQK dσ = 0 (3.107)

получаем, что τ(L) есть поворот кривой L в смысле А. Д. Александрова.

   3) Из предыдущего следствия теоремы Гаусса — Бонне вытекает, что внутренняя кривизна ω(Q) области Q регулярной поверхности Ф в смысле А. Д. Александрова равна _QK dσ.

   Из 1) легко получить теорему Гаусса — Бонне для неориентируемых замкнутых поверхностей Ф. Можно разбить Ф на достаточно малые геодезические треугольники. Суммируя теперь избытки этих треугольников, так же как и при доказательстве теоремы 4 получаем равенство

Из доказательств видно, что результаты этого пункта справедливы в любом регулярном двумерном римановом многообразии.