Рассмотрим метрическое пространство (X, ρ), в котором любые две точки соединимы спрямляемой кривой. Такое пространство назовем метрическа связным. Будем говорить, что метрика р внутренняя в пространстве (X, ρ), если для любой пары точек х, у ∈ (X, ρ) имеет место равенство ρ(x, y) = inf_L s(L), где точная нижняя граница берется по всем кривым с концами в точках x и y.

   Примеры.

1. Метрика пространства Rⁿ внутренняя.

2. Пусть S - регулярная поверхность в R³ (понятие регулярной поверхности мы считаем известным). Определим метрику ρ на S, положив ρ(х, у) = inf s(L), где L - кривые с концами в точках х, у, лежащие на S, а s(L) - их длины в R³ Функция ρ(х, у), очевидно, удовлетворяет всем аксиомам метрики. Покажем, что введенная метрика внутренняя. Обозначим через s_ρ(L) длину кривой L в метрическом пространстве (S, ρ). Достаточно доказать, что

для любой спрямляемой кривой L ⊂ S. Так как для любой пары точек х, y ∈ S расстояние r(х, у) на S не меньше расстояния r (х, у) между ними в пространстве, то

Докажем противоположное неравенство. Зададим произвольное ε > 0. Существует такая монотонная по параметру конечная последовательность точек х = х₀, х₁, ..., х_n= у на L, что

    (1.18)

В силу определения функции ρ(х, у)

где L_i - дуга кривой L с концами в точках x_i-1, x_i. Из (1.16) и (1.17), в силу произвольности а, имеем

откуда, учитывая (1.15), получаем равенство (1.14).

3. Примером невнутренней метрики является метрика, заданная в Аⁿ следующим образом: ρ(х, у) = 1, если (η₁ - ξ₁)² + ... +(η_n - ξ_n)² ≥ 1, ρ(х, у) = [(η₁ - ξ₁)² + ... +(η_n - ξ_n)²]^½, если (η₁ - ξ₁)² + ... +(η_n - ξ_n)² < 1 Проверить, что эта метрика невнутренняя, легко, например, на отрезке с концами в точках (0, ..., 0) и (2, ..., 2).